平面向量 整理者：陈老师

1、向量有关概念： （1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；

AB（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是 )；

|AB|

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定：

零向量和任何向量平行。 提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条

直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A、B、C共线 AB、 AC共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。

2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为

a xi yj x,y ，称 x,y 为向量a的坐标，a＝ x,y 叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有

且只有一对实数 1、 2，使a= 1e1＋ 2e2。

4、实数与向量的积：实数 与向量a的积是一个向量，记作 a，它的长度和方向规定如下：

1 a a, 2 当 >0时， a的方向与a的方向相同，当 <0时， a的方向与a的方向相反，当

＝0时， a 0，注意： a≠0。

5、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OA a,OB b， AOB

0 称为向量a，b的夹角。当

＝0时，a，b同向，当 ＝ 时，a，b反向，当

＝

2

时，a，b垂直。（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为 ，我们把数

量|a||b|cos 叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：a b，即a b＝abcos 。规定：零

向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。（3）b在a上的投影为|b|cos

a b

或，它是一个实数，但不一定大于0。（4）a b的几何意义：数量积a b等于a的模|a|与b在a|a|

上的投影的积。（5）向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为 ，则：①a b a b 0；

2 2 b同向时，a b＝ab，

a b＝－ab；a a a a,a ；②当a，特别地，当a与b反向时，

b不同向，a b 0是 为锐角的必要非充分条件；当 为锐角时，a b＞0，且a、当 为钝角时，a b

b不反向，a b 0是 为钝角的必要非充分条件；③非零向量a，b夹角 的计算公式：＜0，且a、

a b

cos ；④|a b| |a||b|。

ab

6、向量的运算：（1）几何运算：①向量的加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”

只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设AB a,BC b，那么向量AC