哈工大数学系导师考核及专家小组考核大纲

理学院数学系博士入学考试

——导师考核及专家小组考核大纲

一、导师考核部分

导师考核内容自定,可以采用笔试或面试方式,满分100分。

二、专家小组考核部分

数学系专家小组考核采用笔试、面试相结合的考试方式。

面试考试部分满分为50分,全面考评考生的基本专业知识掌握、基本原理掌握及分析问题和解决问题的能力。主要考评考生的表达能力、逻辑思维能力、外语能力,以及所从事的工作或研究经历等内容。笔试考试满分为50分,考试大纲如下:

(一)考试要求

1.在以下6个科目中选择二个科目(专业基础与专业综合不能选同名的科目),每科25分,共50分:

泛函分析、抽象代数、现代数值分析、概率论、常微分方程、偏微分方程。

2.各科目要求:要求考生全面系统地掌握所选科目的基本知识,具备较强的分析问题与解决问题的能力。

(二)考试内容

1.泛函分析:

1) 度量空间、赋(准)范线性空间、内积空间的基本定义,基本定理,基本性质及这些空间的具体例子;凸集与Minkowski泛函的定义及基本性质。

2) 算子和泛函的线性性、有界性、连续性的定义、关系、基本性质;Riesz定理及应用。

3) 纲,开映像定理与闭图像定理及推论(含Banach逆算子定理等),共鸣定理及应用。

4) 线性泛函的延拓定理及其几何形式。

5) 共轭空间(含例子)与共轭算子,以及二次共轭空间与空间的自反性,弱收敛及弱* 收敛,弱列紧性及弱*列紧性。

6) 线性算子的譜的定义和例;紧算子的定义和基本性质。

2.抽象代数:

1) 群论:在掌握群、子群、正规子群、商群等概念和有关性质及群同态基本定理的基础上,要求应试者进一步了解与掌握:作用在集上的群;p群 Sylow子群;可解群与Jordan-Holder定理;有限生成Abel群的结构。

2) 环论:在掌握环、子环、理想、商环等概念和有关性质及环同态基本定理的基础上,

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