平面法向量的求法及其应用

平面法向量的求法及其应用

一、 平面的法向量

1、定义:如果a ,那么向量a叫做平面 的法向量。平面 的法向量共有两大类(从方向上分),无数条。 2、平面法向量的求法

方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中,设平面 的法向量n (x,y,1)[或

n (x,1,z),或n (1,y,z)],在平面 内任找两个不共线的向量a,b。由n ,得 n a 0且n b 0,由此得到关于x,y的方程组,解此方程组即可得到n。

方法二:任何一个x,y,z的一次次方程的图形是平面;反之,任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。Ax By Cz D 0 (A,B,C不同时为0),称为平面的一般方程。其法向量n (A,B,C);若平面与3个坐标轴的交点为P1(a,0,0),P2(0,b,0),P3(0,0,c),如图所示,则平面方程为:向量。

方法三(外积法): 设

平面法向量的求法及其应用

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, 为空间中两个不平行的非零向量,其外积a b为一长

xyz

1,称此方程为平面的截距式方程,把它化为一般式即可求出它的法abc

度等于|a||b|sin ,(θ为

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,两者交角,且0 ),而与

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, 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」,也就是右手四指由

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的方向转为

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的方向时,大拇指所指的方向规定为a b的方向,a b b a。

y1z1x1z1x1y1

设a (x1,y1,z1),b (x2,y2,z2),则:a b ,, yzx2z2x2y2 22

ab(注:1、二阶行列式:M ad cb;2

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cd

例1、 已知,a (2,1,0),b ( 1,2,1), 试求(1):a b;(2):b a.

Key: (1) a b (1, 2,5);(2)b a ( 1,2,5)

例2、如图1-1,在棱长为2的正方体ABCD A1BC11D1中,

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