一类微分方程特解的逆矩阵求法

第14卷第4期高等数学研究

Vol.14,No.4方法与技巧

一类微分方程特解的逆矩阵求法

姜伟

(常熟理工学院数学与统计学院,江苏常熟215500)

要 根据函数求导运算与函数的不定积分互为逆运算的思想,以及有限维函数向量空间在求导运算下不

变的条件,利用逆矩阵方法得到向量空间中基函数的不定积分,从而给出一定条件下用逆矩阵法求一类常系数非齐次线性微分方程特解的新方法.

关键词

非齐次线性微分方程;特解;逆矩阵;不定积分

文献标识码 A

文章编号 1008 1399(2011)04 0075 02

中图分类号 O175.1

对于形如

y +py +qy=

eax[Pl(x)cosbx+Pn(x)sinbx]

的常系数非齐次线性微分方程,现行高等数学教材在设定其特解形式的前提下,借助待定系数法可最

终使之获解[1].与此有所不同,本文将尝试利用逆矩阵方法[2 3],寻求形如

any

(n)

的导数运算,可得S的一个基

eaxsinbx, eaxcosbx,且有

D(esinbx)=aesinbx+becosbx,

D(ecosbx)=-besinbx+aecosbx,

故线性变换D|S的值域

D|S(S)=S.

由线性变换的维数公式[3]

(1)

dimS=dimD|S(S)+dim(D|S)可知,D|

S

-1

-1

ax

ax

ax

ax

ax

ax

(5)

(6)

+an-1y

ax

(n-1)

+ +a0y=

e(cosbx+sinbx)

的常系数非齐次线性微分方程的特解.

(0)

设V为实数域R上全体可微函数的集合,则V构成R上的一个向量空间.设S是V的一个n维子空间,且在求导运算D所定义的线性变换及其幂下具有不变性,也就是说,

D(S)=D2(S)= =Dn(S)=S.另设f1(x),f2(x), ,fn(x)是S的一个基,线性变换D在S下的限制D|S在这个基下的矩阵是A.

以下通过一个实例,探究如何利用逆矩阵求解一类常系数非齐次线性微分方程的特解.

例1 求方程

y +y -y=eax(cosbx+sinbx)的特解,其中a,b R且b 0.

解 分别求方程

y +y -y=esinbx,y +y -y=eaxocsbx

的特解.

首先寻找一个包含esinbx的子空间S,且S在求导运算的作用下不变.通过对eaxsinbx施行连续

收稿日期:2009-08-27;修改日期:2011-05-16.基金项目:江苏省教育厅 青蓝工程 资助项目.

作者简介:姜伟(1976-),男,江苏江都人,博士,副教授,主要从事代

数学研究.Email:jiangwei@http://www.51wendang.com.

ax

ax

的核(D|S)(0)的维数为零,故

D|S: S S

是可逆的线性变换.于是由(6)式立即可得,D|S关于基(5)的矩阵为

A=

2

a-bb

2

2

a

,

从而矩阵(D|S)在基(5)下的矩阵为

A=

于是

L=A2+A-E=

2

a-b2ab

-2aba-b

2

2

.

(2)a2-b2+a-1

2ab+b

-2ab-ba2-b2+a-.

由于a,b R且b 0,从而L的逆矩阵

(3)(4)

2ab+ba-b+a-1

L=.22

|L|-(2ab+b)a-b+a-由于不定积分是求导运算的逆运算,从而可利用

-1

2

2

(D|S)2+(D|S)-I(I是恒等变换)的逆变换在基(5)下的逆矩阵L-1来求方程(3)的一个特解

y1=[(D|S)2+(D|S)-I]-1(eaxsinbx)=

22ax+

(a2-b2+a-1)2+(2ab+b)2

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