几类经济问题的数学模型

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[摘要]利用《经济数学》中导数、积分、常微分方程、级数等有关内容,研究经济领域中计划、预测、评估、组织、决策等问题,把经济融入数学,建立数学模型,找到解决问题的方法。[关键词]经济问题数学模型解决方法

作者简介:边荣标(1964-),男,山东莱芜人,莱芜职业技术学院副教授,主要研究方向:应用数学。

培养学生数学应用意识是高职高专数学教学的重要使命。培养学生数学应用意识就是要结合专业实际,在教学内容上突出知识的应用性。本文就《经济数学》的应用,通过典型例题作一探究,以供读者参考。一、复利与贴现问题

复利与贴现是现实生活中经常遇到的问

题。利用A=A0e可计算连续复利r计息的t年未来值;也可以计算按连续复利r计息的t年末的现值。

例1.某银行年存款利率为r=0.05,并依年利复利计算,某基金会希望通过存款A万元实现第一年提取19万元,第二年提取28万元…第n年提取﹙10+9n﹚万元,并能按此一直提取下去。问A至少应为多少万元?

解:设An为第n年提取(10+9n)万元的贴现值,则An=(1+r)-n(10+9n)

'=0,即,解之t*=25

当t>t*时L'(t)<0,当t<t*时L'(t)>0当t>t*时L'(t)<0,当t<t*时L'(t)>0

∴t*为最大值,即这批酒窖藏25年后出售利润最大。

二、折旧问题

企业在进行成本核算时,经常需要计算固定资产的折旧。一般来说,固定资产在任一时刻的折旧额与当时的固定资产的价值都是成正比的。

例1:某固定资产五年前购买时的价格为10000元,而现在的价格为6000元。试估算固定资产再过10年后的价值。

则其该时刻的折旧额就是

。由题意得

,其中k>0为常数,P(t)是单调减函数。

分离变量得:

两边积分得:lnp=-kt+lnc∴P=ce-kt。由题意知初始条件P(0)=10000,代入求得c=10000。

故原方程的特解为P=10000e-kt。

将得:,积分

,有因为

所以

所以所以

,所以

令v=0得t=6。即全部融化雪需要6小时。三、库存问题

不论是生产厂家还是商家,都要设置仓库用来存贮原料或是商品,因此库存问题也是他们必须面对的问题。虽然每天的库存量一半,而总库存费

×批量×单位库存费×

库存时间。

例1:某厂每年消费某种原料3000吨,计划分批购进。设每批购进时手续费为30元,且每吨原材料堆放一年需支付2元的库存费。如果生产过程是均匀的,则每批购进数量是多少时可使库存费与手续费之和最少?如果从订货单发出到原料到达的时间为3天,则库存还剩多少时就要订下一批货(每年以365天计)

解:设每批购进的数量为x吨,库存费和手续费之和为y,

则,

设,x∈(-1,1),

x∈(-1,1)

∴A=200+9×420=3980万元

例2.某设备使用寿命为15年,若一次购

进需要15万元,如租用每月租金为1400元,

设资金平均年利率为8%,按连续复利计算,

问购买与租用哪个合适?

解:每月租金为1400元则年租金为为

元。16800元,第t年的租金贴现16800e

0.08t

例2:一个半球体状的雪,其体积融化的,则15年累计租金贴现为

速率与半球面积s成正比,比例常数为k>0。假设在融化过程中,雪最始终保持半球体万状,已知半径为r的雪,在开始融化3小时内

融化了其体积的元,显然租用合适。

,问雪全部融化需要多少例3某酒厂有一批新酿成的酒,若当即卖

掉﹙t=0﹚,若窖藏t年后按陈酒出小时。

,半球面售,售价为元,若窖藏不需支付储存

费,问窖藏多少年按现值计算可使利润最大积(按连续复利计算年利率为0.1)

令y'=1

=0,得唯一驻点x=300

又∵

可知x=300是极小值

点。

即当批量为300吨时,可使库存费与手续

费之和最小。

三天的原料消耗量为×3≈25,故当库存还剩25吨时就要开始订下一批货。

例2:某工厂生产的商品年销售量为100万件,每批生产的准备费与进货量的大小无关,且费用为1000元。设每件商品库存一年所需费用为0.05元,求下面的两种情况下,每年生产所需生产准备费与库存费之和

2010.Mar.

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