1初一奥数知识点小结

初中奥数知识点小结

奥数知识点小结

第一章、整数:

一、整数的几种表示方法:

选择适当的方法表示一个整数,是解决整数问题的基本方法之一。它是解决整数问题的前提。

1、整数的多项式表示法:

任何一个十进制的正整数N都可表示为:

N an 10n an 1 10n 1 a2 102 a1 10 a0,

这里an、an 1、 a2、a1、a0各取于0——9这十个数字中的任何一个。如果N是一个

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n+1位正整数,则an≠0。为了方便,也可将N简记作N anan 1 a1a0。 这种表示法称为整数的多项式表示法。整数最左边的一位数字an叫做整数N的首位数字,最右边的一位数字a0叫做整数N的末位数字。

2、整数的质因数连乘积表示法:

(1)算术基本定理——每一个大于1的整数都能分解成质因数的乘积的形式,并且如果把质因数按照由小到大的顺序排在一起(相同因数的积写成幂的形式),那么这种分解方法是唯一的。

这就是说,任何一个整数N(N>1),都能唯一地表示成下面的形式:

n 1 2N p1p2 pn

其中 1, 2, n为自然数,p1,p2, ,pn为质数,并且p1<p2< <pn。这种表示法称为整数的质因数连乘积表示法,又称为整数N的标准分解式。

(2)约数个数定理——一个整数N(N>1),如果它的标准分解式为

n 1 2N p1p2 pn,那么它的约数个数为(1+ 1)(1+ 2) (1+ n)。

另外,如果一个正整数N的约数个数是奇数,那么这个正整数N是完全平方数。

3、整数的带余式表示法:

如果整数a除以正整数m所得的商是q,余数是r,那么a=mq+r,其中q、r都为整数,并且0 r m-1。这种表示法称为整数的带余式表示法。

如果整数a、b分别除以正整数m所得得余数都是r,即a=mp+r,b=mq+r(p、q为整数),那么称a,b对于模m同余,记作a≡b(mod m)。容易推知对于模m而言,与a同余的一切整数可以表示为mt+r (t为整数),这里r=0,1, ,m-1。把所有这样的整数作为一类,称为以m为模的一个同余类。

一般地,对于模m而言,应当有m个同余类存在,可分别表示为:

mt,mt+1,mt+2, ,mt+(m-1)(t为整数)。

任何一个整数必定属于并且也仅属于其中一个同余类。这样一切整数就可以按照模m

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