北京大学高等代数与解析几何2007

高等代数与解析几何 2007

1 回答下列问题

(1)是否存在n阶方阵A,B,满足AB-BA=E(单位矩阵)?又,是否存在n维线性空间上的线性变换A,B,满足AB-BA=E(恒等变换)?若是,举出例子;若否,给出证明.

(2)n阶行列式A各行元素之和为常数c,则A的各行元素之和是否为常数?若是,是多少?说明理由.

(3)m*n矩阵秩为r.取r个线性无关的行向量,再取r个线性无关的列向量,组成的r阶子式是否一定为0?若是,给出证明;否,举出反例.

(4)A,B都是m*n矩阵.线性方程组AX=0与BX=0同解,则A与B的列向量是否等价?行向量是否等价?若是,给出证明;否,举出反例.

(5)把实数域R看成有理数域Q上的线性空间,b p3q2r.这里的p,q,r是互不相同的素数.判断向量组1,b,b2,...,bn 1是否线性相关?说明理由.

2 矩阵A,B可交换.证明:r(A+B) r(A)+r(B)-r(AB).

3 f为双线性函数,且对任意的 , , 都有f( , )f( , ) f( , )f( , ).求证f为对称的或反对称的.

4 V是欧几里德空间,U是V的子空间. V.求证: 是 在U上的正交投影的充要条件为: U,都有| | | |.

5 复矩阵A满足: k,tr(A) 0.求A的特征值.

6 n 维线性空间V上的线性变换A的最小多项式与特征多项式相同.求证k3 V,使得 ,A ,A2 ,...,An 1 为V的一个基.

7 P是球内一定点,A,B,C是球面上三动点. APB BPC CPA /2.以PA,PB,PC为棱作平行六面体,记与P相对的顶点为Q,求Q点的轨迹.

8 直线L的方程为:

A1x B1y C1z D1 0

A2x B2y C2z D2 0

问系数要满足什么条件,才能使得直线:

(1)过原点(2)平行于x轴,但不与x轴重合(3)与y轴相交 (4)与z轴重合

x2y2

9 证明双曲抛物面 2 2 2z 的相互垂直的直母线的交点在双曲线上. ab

x2y2z2

1被点(2,-1,1)平分的弦. 10 求椭球面25169

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