幂级数求和函数的类型与解法
摘要:幂级数求和函数是级数这一章的重点和难点。根据多年教学经验,对幂级数求和函数总结出四种常用类型及其解法。关键词:幂级数;和函数;几何级数中图分类号:O1-0文献标识码:A幂级数是微积分中十分重要的内容之一,而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题,对于学生来说是一个难点,因此有必要对幂级数求和函数这类问题进行研究探讨。求解幂级数的和函数时,常通过幂级数的有关运算恒等变形或分析运算)把待求级数化为易求和的级数(即常用级数,特别是几何级数(又叫等比级数)
,
的和函
数
,
其中
为的多
项式
(一)解法:1、用先逐项积分,再逐项求导的方法求其和函
数
。积分总是从收敛中心(
用
的和函
数
。
文章编号:1009-0118(2010)-09-0137-02
因②、③可直接利用①的结论求得,下面仅给出①、④的求解过程。
解①(法一)收敛域为(-1,1),对级数逐项积分再逐项求
导:
。
则
(-1<<1)。
(法二)将级数化为几何级数的和函数的导数而求之:
(-1<<1)
④(法一)收敛域为(-1,1),在收敛域内对级数先逐项积分两次,再逐项求导两次求
之:
则(-1<<1)所
以
(-1<<1)
(法二)更简便的是将级数化为几何级数的和函数的导数而求之:
(-1<<1)
(三)结论:(-1<<1)(1
)(-1<<1)
(2
)(-1<<1)(3
)(-1<<1)
(4)
例2
求
(