初一奥数数学竞赛第十五讲 奇数与偶数

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初一奥数数学竞赛第十五讲 奇数与偶数

通常我们所说的“单数”、“双数”,也就是奇数和偶数,即±1,±3,±5, 是奇数,0,±2,±4,±6, 是偶数.

用整除的术语来说就是:能被2整除的整数是偶数,不能被2整除的整数是奇数.通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式,其中k为整数,偶数可以表示为2k的形式,其中k是整数.

奇数和偶数有以下基本性质:

性质1 奇数≠偶数.

性质2 奇数±奇数=偶数,偶数±偶数=偶数,奇数±偶数=奇数.

性质3 奇数×奇数=奇数,偶数×偶数=偶数,奇数×偶数=偶数.

性质4 奇数个奇数之和是奇数;偶数个奇数之和是偶数;任意有限个偶数之和为偶数. 性质5 若干个奇数的乘积是奇数,偶数与整数的乘积是偶数.

性质6 如果若干个整数的乘积是奇数,那么其中每一个因子都是奇数;如果若干个整数的乘积是偶数,那么其中至少有一个因子是偶数.

性质7 如果两个整数的和(或差)是偶数,那么这两个整数的奇偶性相同;如果两个整数的和(或差)是奇数,那么这两个整数一定是一奇一偶.

性质8 两个整数的和与差的奇偶性相同.

性质9 奇数的平方除以8余1,偶数的平方是4的倍数.

性质1至性质6的证明是很容易的,下面我们给出性质7至性质9的证明.

性质7的证明 设两个整数的和是偶数,如果这两个整数为一奇一偶,那么由性质2知,它们的和为奇数,因此它们同为奇数或同为偶数.

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