09 矩阵微分方程

工程数学:矩阵微分方程

第九讲 矩阵微分方程

一、矩阵的微分和积分

1. 矩阵导数定义:若矩阵A(t)=(t的a(t)的每一个元素)a(t是变量)ijmn×

ij

可微函数,则称A(t)可微,其导数定义为

daij

=A (t)m×n)

dtdt

dA

由此出发,函数可以定义高阶导数,类似地,又可以定义偏导数。 2. 矩阵导数性质:若A(t),B(t)是两个可进行相应运算的可微矩阵,则

(1)(2)(3)(4)

ddt

B(t)]=

dAdt±dBdt

ddt

ddtddt

=

dAdtdadtddt

B+A

dBdtdAdt

=A+a

ddt

e

tA

=Ae=eA

tA

tA cos tA =-Asin tA

sin tA =Acos tA

(A与t无关) 此处仅对证:

ddt

ddt

tA

)=Ae

tAtA

=eA加以证明

tA

)=

ddt

tA+

12!12!

tA+

22

13!

tA+ )=A+tA+

332

12!

tA+

23

=A(I+tA+

又=(I+tA+

1

tA+ )=Ae

2

tA

22tA

2!

tA+ )A=eA

2

3. 矩阵积分定义:若矩阵A(t)=(aij(t))m×n的每个元素aij(t)都是区间

[t0,t1]上的可积函数,则称A(t)在区间[t0,t1]上可积,并定义A(t)在[t0,t1]

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