基于二阶矩阵微分方程的机械振动系统线性二次型调节器设计

本文讨论机械振动系统线性二次型状态调节器(LQR)问题,直接针对系统二阶运动微分方程,性能指标为一个依赖于二阶导数的泛函。由欧拉-拉格朗日方程得出一个系统矩阵增广的二阶线性微分方程,指出该方程稳定的特征对就是最优控制振动系统闭环特征对,并给出求解最优控制状态反馈矩阵的方法,另外,由本文方法还可得出基于速度和加速度反馈的最优控制反馈矩阵。这里不涉及求解代数矩阵Riccati方程。

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振第 2卷第 1 l期

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基于二阶矩阵微分方程的机械振动系统线性二次型调节器设计 张家凡 (汉工业学院机械工程系,汉武武 4 02 ) 30 3

摘要本文讨论机械振动系统线性二次型状态调节器 (Qt L r问题, )直接针对系统二阶运动微分方程,能指标为性 一

个依赖于二阶导数的泛函由欧拉~拉格朗日方程得出一个系统矩阵增广的二盼线性微分方程,指出该方程稳定的特征对就是最优控制振动系统闭环特征对,给出术解最优控制状态反馈矩阵的方法。另外,并由本文方法还可得出基于速

度和加速度反绩的最优控制反馈矩阵。这里不涉及求解代数矩阵彤c丑 c方程 关键词:动,振主动控制,优控制线性二次型调声器最中图分类号:B 3,P7 T 55 T 23

0引言 对于机械振动问题,用牛顿第二定律或哈密顿运 ( a io )分原理所建立的系统运动微分方程, H ml n变 t其自然形式通常是二阶方程在讨论该系统振动的最

,:I ( x+饭+U )t U T d

() 3

这里 U、∈ R为对称正定的状态加权矩阵,∈ C… 一为对称正定的控制加权矩阵,动系统的状态振调节器 L QR问题为:满足方程 ( )在 2的条件下,取系求统最优控制输入 u ,得式 ( )的目标泛函数取得 ( )使 3极小值。

优控制问题时,们常将二阶运动方程转换成标准的人 状态方程形式求解,本文探讨以系统二阶矩阵微分但方程为研究对象的最优控制问题。在这方面,献文 1讨论了振动系统状态调节器问题,该文的讨论]但

为将上面约束泛函极值问题转化成无约束问题, 引入协状态向量^ ( )∈ R ( 也称为拉格朗日乘子向

是针对系统二阶方程中控制输入矩阵 B为可逆方阵 的情况,制输入矩阵 B为方阵意味着一种全状态反控馈情况在振动控制的实现上比较困难本文讨论这

量 )给出函数 (, , ),,;,^及泛函 J _ H: + + u +

^(

+

+

一B ) u

() 4

输入矩阵 B为非方阵

或者说矩形阵的情况,系统二将 阶方程通过状态向量 ( )引人性能指标泛函,运用欧拉一拉格朗日方程得到~个矩阵增广的二阶线性微分方程,由该方程稳定的特征值及特征向量确定

J=l (,,)t】 ,,^ d 方程给出以上 L R问题的解 Q 一

() 5

则泛函 J取极值的必要条件, _即下面欧拉一拉格朗日

最优控制状态反馈常数矩阵。不需要求解代数矩阵 Rca方程。本文讨论无艰时间状态调节器问题 i f ci 日:o

+

嘉 0:

( 6 ) () 7

1振动系统的线性二次型调节器 考虑如下振动系统的矩阵二阶微分方程 +&+ :_厂 () 1

这里、、、 峨日表示标量函数日对时变向量, , ,

中各变元的偏导向量,如例 巩: :( ’, ’’,,… ) () 8

这里埘、 ∈…是对称常数矩阵, f∈是时 c、 、 变向量。正定, K正定或正半定。 M C、向量 f t ( )表示

将式 ( )人式 ( ) ( )得 4代 6、7可 2一诫 + d一2一 n: o 2 u—B: 0 W 式 (O改写成 1)

() 9 (0 1)

作用在系统上的外力, ()是系统响应 (常为位移通

响应)设 f t形如, t B ( ) B∈ R称为控。 () (): u,… 制输入矩阵, ( u )∈ ( )为 1成 M+ +K= 8 ( ) x t () 2

称为控制输入向量,方程则

():÷ IB t f 1 () 增广的二阶微分方程

(1 1)

将式 (1代人前面式 ()并联立式 ( ) 1) 2, 9可得如下矩阵

对于二次型性能指标

-

收藕日期:01 6 7 2 0—0—0作者张家凡

修改稿收到日期:O l 7 6 2O一0—2

男,士,师, 6磺讲 i 3年 I月生 9 2

基于二阶矩阵微分方程的机械振动系统线性二次型调节器设计

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