初三数学培优资料1

初三数学培优资料

第一讲:一元二次方程的根

一 、内容提要

1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根,是由它的系数a, b, c的值确定的.

-b b2 4ac

求根公式是:x=. (b2-4ac 0)

2a

2. 根的判别式

① 实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的充分必要条件是:b2-4ac 0.

② 有理系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根的判定是:b2-4ac是完全平方式 方程有有理数根. ③整系数方程x2+px+q=0有两个整数根 p2-4q是整数的平方数. 3. 设x1, x2 是ax2+bx+c=0的两个实数根,那么

① ax12+bx1+c=0 (a≠0,b2-4ac 0), ax22+bx2+c=0 (a≠0, b2-4ac 0);

-bb2 4ac-bb2 4ac② x1=, x2= (a≠0, b2-4ac 0);

2a2a

③ 韦达定理:x1+x2= -

4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个整数根x1的必要条件是:x1是c的因数.

特殊的例子有: C=0 x1=0 , a+b+c=0 x1=1 , a-b+c=0 x1=-1. 二、例题

例1. 已知:a, b, c是实数,且a=b+c+1.

求证:两个方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中,至少有一个方程有两个不相等的实数根.

例2. 已知首项系数不相等的两个方程: (a-1)x2-(a2+2)x+(a2+2a)=0和 (b-1)x2-(b2+2)x+(b2+2b)=0 (其

中a,b为正整数)有一个公共根. 求a, b的值.

例3. 已知:m, n 是不相等的实数,方程x2+mx+n=0的两根差与方程y2+ny+m=0的两根差相等. 求:m+n 的值. bc

(a≠0, b2-4ac 0). , x1x2=

aa

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