马尔可夫调制及带 跳随机时滞微分方程依分布稳定

马尔可夫调制及带Poisson跳随机时滞微分方程依分布稳定

王福星1,杨运凤2

(1.济宁职业技术学院, 山东 济宁 272037;2. 济宁职业技术学院, 山东 济宁 272037)

摘要:本文讨论马尔可夫调制及带Poisson跳随机时滞微分方程,其主要目的是研究方程解的依分布稳定.

关键词:马尔可夫调制;Poisson跳;依分布稳定;随机微分方程 一、引言

近十多年,马尔可夫调制随机微分方程受到许多学者的广泛注意.Ji和Chizeck[4]及Mariton[5]研究了跳跃系统

dX(t) A(r(t))X(t)dt (1.1)

的稳定性;Mao[1]研究了非线性马尔可夫调制随机微分方程

dX(t) f(X(t),t,r(t))dt g(X(t),t,r(t))dB(t) (1.2) 的稳定性;Mao[7]及Shaikhet[6]研究了非线性马尔可夫调制随机时滞微分方程

dX(t) f(X(t),X(t ),t,r(t))dt g(X(t),X(t ),t,r(t))dB(t) (1.3)

的稳定性.

上述文献大多谈及的是方程平凡解依概率渐近稳定或均方渐近稳定(即平凡解依概率或均方趋于0),然而这种稳定性在某些时候较为苛刻.在这种情形下,我们想知道平凡解是否依分布收敛(未必收敛到0),这种性质称为依分布渐近稳定.Basak(1996)讨论了马尔可夫调制半线性随机微分方程

dX(t) A(r(t))X(t)dt (X(t),r(t))dB(t) (1.4) Yuan[3] 讨论了马尔可夫调制随机时滞微分方程

dX(t) f(X(t),X(t ),r(t))dt g(X(t),X(t ),r(t))dB(t) (1.5)

依分布稳定.本文讨论马尔可夫调制及带Poisson跳随机时滞微分方程依分布稳定.

二、符号、必要假设、定义

本文中始终假设( ,F,{Ft}t 0,P)为一具有满足一般条件(右连续且F0包含所有P—零测集)完备概率空间.假设B(t) (Bt1,Bt2, ,Btm)T是定义在此概率空间上的m维布朗运动.令

| |是Rn中欧氏范数.若A是向量或矩阵,AT表示其转置.若A是矩阵,|A| trace(ATA)

表示A的迹范数.假设 0,C([ ,0];Rn)表示从[ ,0]到Rn—族连续函数 ,其中范数

nbn|| || sup| ( )|.记CFF 表示所有有界、可测、C([ ,0];R)值随机变([ ,0];R)tt

0

量.若X(t)为一连续Rn值随机过程,t [ , ).我们令

Xt {X(t ): 0}, t 0,

Xt可看作是C([ ,0];Rn)值随机过程.

假设r(t)是定义在概率空间( ,F,{Ft}t 0,P)上取值于有限状态空间S 1,2, ,N 右

连续马尔可夫链,其中生成元 (rij)N N由以下确定:

i j rij o( ),

, P(r(t ) j|r(t) i)

1 r o( ),i j ij

其中 0.rij(i j)表示状态i到状态j的转移率,且

rii rij.

i j

假设马尔可夫链r( )与布朗运动B( )是相互独立的.易知r(t)的每一个样本轨道是右连续阶梯函数,且r(t)是一遍历马尔可夫链.

考虑下列马尔可夫调制及带Poisson跳随机时滞微分方程

dx(t) f(x(t),x(t ),r(t))dt g(x(t),x(t ),r(t))dB(t)

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