导数高考大题专题

导数高考大题专题(理科)

例题2011高考:(21)(本小题满分12分) 已知函数f(x)

alnxb

,曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x 2y 3 0。 x 1x

lnxk

,求k的取值范围。 x 1x

(Ⅰ)求a、b的值;

(Ⅱ)如果当x 0,且x 1时,f(x)

(

(21)解:(Ⅰ)f'(x)

x 1

lnx)

b

(x 1)2x2

f(1) 1,

1

由于直线x 2y 3 0的斜率为 ,且过点(1,1),故 1即

2f'(1) , 2

b 1,

a1

b , 22lnx1

,所以 x 1x

解得a 1,b 1。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

lnxk1(k 1)(x2 1)

f(x) ( ) (2lnx )。 2

x 1x1 xx

(k 1)(x2 1)(k 1)(x2 1) 2x

(x 0),则h'(x) 考虑函数h(x) 2lnx 。 2

xxk(x2 1) (x 1)2

(i)设k 0,由h'(x) 知,当x 1时,h'(x) 0。而h(1) 0,故

x2

当x (0,1)时,h(x) 0,可得

1

h(x) 0; 1 x2

1

当x (1,+ )时,h(x)<0,可得 h(x)>0

1 x2lnxklnxk

从而当x>0,且x 1时,f(x)-(+)>0,即f(x)>+.

x 1xx 1x

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