5-4阶跃函数和阶跃响应

2011/5/6

§5-4阶跃函数和阶跃响应 一、阶跃函数 1.单位阶跃函数ε (t )的定义: 1 0单位阶跃函数

2.延迟阶跃函数ε (t t 0 )

ε (t ) 1 0

ε (t )

ε (t )=

0 1

0ε (t t 0 )= 1 t

t<t 0 t>t 0

t0

t

延迟阶跃函数

t<0 t>0

该函数的电路模型:该数的电路模型 t=0处表示1V直流电压源在t=0时接入电路,不连续此前该电路一直处于输入短路状态, S(t= 0)如图所示。 R

f 3. (t )ε (t ):表示在 t> 0区间内即为原函数, f (t ) t< 0区间恒为零。

0 f (t ) ε (t )= f (t )

t<0 t>0

0

t0 f (t )ε (t t0 )

t

1V

C

t< t0 0 f (t ) ε (t t 0 )= f (t ) t> t 0

0

t0

t

故,阶跃函数可以表示电路的激励和响应。如RC零状态响应电路中:电路的激励:uS (t )= U Sε ( t ) V t RC

解:

f (t )

f (t )=ε (t )+ε (t t1 )+ε (t t 2 ) )ε ( t ) V 解:解

3 2 1

u电路的响应: C (t )= U S (1 e 例:用阶跃函数表示以下图例用阶跃函数表示以下图中所示波形。解:

3ε (t t 3 )

f (t ) 1

0

t1

t2 f (t )

t3

t

f (t )= tε (t ) 1 0

t0 0 1

2t0 t

f (t ) 1 0 解:

1

t

f (t )=ε (t ) 2ε (t t 0 )+ε (t 2t 0 )

1

t

f (t )= tε (t ) tε (t 1)

二、阶跃函数在一阶电路中的应用例: uC (0 )= 0 1.若 uS=ε (t ) V,即相当于在 t=0时,S合上,uS= 1 V。 t

S + uS -

R+ uR-+ i uC -

例:开关 S在t=0时由1→2, t=10ms时,再从2→1。求:uC(t),并画出波形。解:

S 1

2

R=15kΩ+ C=

10V 1μF 5V + R=15kΩ C= uS(t) 1μF -

uC

∴ uC (t )= (1 eτ )ε (t ) V 2.若 uS=ε ( t-t 0 ) V,即相当于在 t= t 0时, S合上, uS= 1V。

uS (t ) (V) 10

10 0 5

t (ms)

+ uC(t) -

∴ uC ( t )= (1 e

t-t 0

τ

)ε ( t-t 0 ) V

uS ( t )= 5+ 15ε (t ) 15ε ( t 10)

说明:由时不变电路的性质得到: (t )作用下,响应ε为 s (t );则ε ( t t 0 )作用下,响应为 s ( t t 0 )。

∵ uS (t )=ε ( t )时

uC (t )= (1 e

t 15

)ε ( t ) V

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