初中数学 二次函数

初中数学 二次函数

高中数学精神讲义(二)

──二次函数与命题

一、基础知识

1.二次函数:当0时,y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数,其对称轴为直线x=-,另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0),其中x0=-,下同。

2.二次函数的性质:当a>0时,f(x)的图象开口向上,在区间(-∞,x0]上随自变量x增大函数值减小(简称递减),在[x0, -∞)上随自变量增大函数值增大(简称递增)。当a<0时,情况相反。

3.当a>0时,方程f(x)=0即ax2+bx+c=0 ①和不等式ax2+bx+c>0 ②及ax2+bx+c<0 ③与函数f(x)的关系如下(记△=b2-4ac)。

1)当△>0时,方程①有两个不等实根,设x1,x2(x1<x2),不等式②和不等式③的解集分别是{x|x<x1或x>x2}和{x|x1<x<x2},二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点,f(x)还可写成f(x)=a(x-x1)(x-x2).

2)当△=0时,方程①有两个相等的实根x1=x2=x0=,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x}和空集,f(x)的图象与x轴有唯一公共点。

.f(x)图象与x轴3)当△<0时,方程①无解,不等式②和不等式③的解集分别是R和

无公共点。

当a<0时,请读者自己分析。

4.二次函数的最值:若a>0,当x=x0时,f(x)取最小值f(x0)=,若a<0,则当x=x0=时,f(x)取最大值f(x0)=.对于给定区间[m,n]上的二次函数

f(x)=ax2+bx+c(a>0),当x0∈[m, n]时,f(x)在[m, n]上的最小值为f(x0); 当x0<m时。f(x)在[m, n]上的最小值为f(m);当x0>n时,f(x)在[m, n]上的最小值为f(n)(以上结论由二次函数图象即可得出)。

定义1 能判断真假的语句叫命题,如“3>5”是命题,“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。

注1 “p或q”复合命题只有当p,q同为假命题时为假,否则为真命题;“p且q”复合命题只有当p,q同时为真命题时为真,否则为假命题;p与“非p”即“p”恰好一真一假。

定义2 原命题:若p则q(p为条件,q为结论);逆命题:若q则p;否命题:若非p则q;逆否命题:若非q则非p。

注2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。

注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明原命题的逆否命题。

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