直线与椭圆相交中点四边形面积2013全国

直线与椭圆相交

xy2.[2013·新课标全国卷Ⅱ] 平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:+1.右焦点的63

1直线x+y-3=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为. 2

C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值. 22 x+y-3=0,

2.解:由 x2y2 1, 63

4 3 x 3, x=0,

解得 或 y=3.3y=- 3

6因此|AB|=3

5 3由题意可设直线CD的方程为y=x+n3), 3

设C(x3,y3),D(x4,y4).

y=x+n, 2222由 xy得3x+4nx+2n-6=0, =1 63

-2n±2(9-n)于是x3,43242因为直线CD的斜率为1,所以|CD|=2|x4-x3|=9-n. 318 62由已知,四边形ACBD的面积S9-n. 29

8 6当n=0时,S取得最大值,最大值为3

8 6所以四边形ACBD. 3

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