初中数学 辅助线添加规律总结大全 2014.4.28

初中数学 添辅助线的规律

(一)添辅助线的目的:

解证几何问题的基本思路就是要利用已知几何条件求得所求几何关系。这往往需要将已知条件与所求条件集中到一个或两个几何关系十分明确的简单的几何图形之中。如一个三角形(特别是直角三角形、等腰三角形),一个平行四边形(特别是矩形、菱形、正方形),一个圆,或两个全等三角形,两个相似三角形之中。这种思路可称为条件集中法。

为了达到条件集中的目标,我们需要将远离的、分散的已知条件和所求条件,通过连线、作线、平移、翻转、旋转等方法来补全或构造一个三角形、一个平行四边形、一个圆、或两个全等三角形、两个相似三角形。以便于运用这些图形的几何关系(性质定理)解题,这就需要添加辅助线。

添加什么样的辅助线,总由以下三方面决定:

由所求决定:问什么,先要作什么。

由已知决定:已知什么,作出什么,并为充分运用已知条件提供的性质定理添加辅助线。

由条件集中的需要决定:为补全或构造几何关系十分明确的一个三角形、一个平行四边形、一个圆,或两个全等三角形、两个相似三角形而添加辅助线。

(二)添辅助线的规律:

(1)三角形中:

①等腰Δ:常连底边上的中线或高或顶角的平分线(构造两个全等的直角Δ,或便于运用等腰Δ三线合一的性质。如图1)

②直角Δ斜边上有中点:连中线(构造两个等腰Δ,或便于运用直角Δ斜边上的中线的特殊性质。如图2)

初中数学 辅助线添加规律总结大全 2014.4.28

③斜Δ有中点或中线:连中线(构造两个等底同高的等积Δ。如图3); 或自左右两顶点分别作中线的垂线(构造两个全等直角三角形。如图4); 或连中位线、或过一中点作另一边的平行线(构造两个相似比为1:2的相似Δ,或便于运用Δ中位线定理。如图5、6);或延长中位线或中线的一倍(构造两个全等Δ或补全为一个平行四边形。如图7、

8)。或延长中线的1/3(构造两个全等Δ或补全为一个平行四边形。如图9)。

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④有角平分线:过其上某一交点作角两边的垂线(构造两全等的直角Δ。如图10)或一边或两边的平行线(构造一个或两个等腰Δ或一菱形。如图11)。

⑤有角平分线:在此角的一边上自顶点取一段等于另一边并作相关连线(构造两个全等Δ。如图12、13)

⑥有角平分线遇垂线:常延长垂线(构造等腰Δ。如图14)。

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